Question

如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點(diǎn)E、G，過點(diǎn)F的切線HF與DC的延長線相交于點(diǎn)H，且HF=HG．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=，BF=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)首先求出∠3=∠1，進(jìn)而得出∠BEG=90°即可得出AB⊥CD；
（2）連接AF，首先得出∠HGF=∠1=∠4=∠A，利用銳角三角函數(shù)得出AB即可得出半徑．
解答：（1）證明：如圖，連接OF，
∵HF是⊙O的切線，
∴∠OFH=90°．
即∠1+∠2=90°．
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF．
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1．
∵OF=OB，∴∠B=∠2．
∴∠B+∠3=90°．
∴∠BEG=90°．
∴AB⊥CD．

（2）解：如圖，連接AF，
∵AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，
∴∠AFB=90°．
即∠2+∠4=90°．
∴∠HGF=∠1=∠4=∠A．
在Rt△AFB中，AB===4．
∴⊙O的半徑長為2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)應(yīng)用，根據(jù)已知得出∠HGF=∠1=∠4=∠A是解題關(guān)鍵．