Question

10．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{4}$）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交于點(diǎn)H．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，求證：△PFM為等腰三角形；
（3）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，作PQ⊥FM交FM于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P從橫坐標(biāo)2015處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2016處時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式可求得PM和PF的長，從而得到PM=PF；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)Q是FM的中點(diǎn)，從而得到OQ是△FHM的中位線，由三角形中位線的性質(zhì)可求得當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2015時(shí)，OQ=1007.5；當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2016時(shí)，OQ=1008，故此可求得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長．

解答 解：（1）二次函數(shù)解析式為：y=ax²，
∵經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{4}$），
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{4}$x²．
（2）∵點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，
設(shè)P（x，$\frac{1}{4}$x²），則M（x，-1），
∴PM=$\frac{1}{4}$x²+1．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：PF=$\sqrt{（x-0）^{2}+（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{16}{x}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{2}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1$．
∴PF=PM 即△PFM為等腰三角形．
（3）如圖所示：過點(diǎn)P作PQ⊥FM，垂足為Q．

∵PF=PM，PQ⊥FM，
∴FQ=QM．
∵OF=OH，F(xiàn)Q=QM，
∴OQ∥HM，且OQ=$\frac{1}{2}$MH．
當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2015時(shí)，OQ=$\frac{1}{2}$HM=$\frac{1}{2}×2015$=1007.5．
當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2016時(shí)，OQ=$\frac{1}{2}$HM=$\frac{1}{2}×2016$=1008．
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長=1008-1007.5=0.5．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，證得OQ是△FHM的中位線，利用三角形的中位線的性質(zhì)求得當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2015時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2016時(shí)OQ的長是解題的關(guān)鍵．