Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與X軸交于兩不同的點(diǎn)A（-1，0），B（m，0），（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)E為過A點(diǎn)的直線y=x+1與該拋物線的另一交點(diǎn)．在X軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連接AC、BC，矩形FGHQ的一邊FG在線段AB上，頂點(diǎn)H、Q分別在線段AC、BC上，若設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），矩形FGHQ的面積為S，當(dāng)S取最大值時(shí)，連接FH并延長至點(diǎn)M，使HM=k•FH，若點(diǎn)M不在該拋物線上，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據(jù)射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的長，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據(jù)拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)過求解不難得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據(jù)對應(yīng)的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得H，F(xiàn)的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得直線HF與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求得對應(yīng)的k的值，從而確定當(dāng)不與拋物線相交時(shí)k的范圍．
解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得 ，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，
可得 （不合題意舍去），，
∴E（6，7）．
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
則點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則 ，
∴BP₁===，
∴OP₁=4-=，
∴P₁（ ，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則 ，
∴BP₂===，
∴OP₂=-4=，
∴P₂（-，0）．
綜合①、②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（ ，0）或P₂（-，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：設(shè)HG=x，則=
解得：HQ=-x+5
∴矩形的面積S=HG•HQ=-x²+5x
當(dāng)x=-=1時(shí)，面積取得最大值．則H，R，Q的縱坐標(biāo)是-1．
則HQ=-×1+5=
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：，解得：
則AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
則H的坐標(biāo)是（-，-1）．F的坐標(biāo)是（2，0）．則HF=．
設(shè)直線FH的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：
解得：，
則直線FH的解析式是y=x-．
解方程組：，
解得：x=．
當(dāng)直線與拋物線相交時(shí)，k===或=．
則k的范圍是：k≠且k≠．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)求最值、函數(shù)圖象交點(diǎn)、三角形相似的性質(zhì)，等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．