Question

已知AB為⊙O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，D為半圓的中點(diǎn)，AH⊥CD于H．
（1）如圖1，求證：OH平分∠AHC；
（2）如圖2，連AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的長．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BC，AD，OD，OC，先證明△ABC∽△ADH，可得∠HAD=∠CAB，繼而得出∠HAC=∠DAB，由∠DAB=45°，判斷△HAC是等腰直角三角形，繼而證明△AOH≌△COH，根據(jù)對應(yīng)角相等，得出結(jié)論；
（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分線，在Rt△ABC中求出AB，得出OA，在Rt△AOM中求出OM，根據(jù)OH=MH-OM，可得出答案．

解答：解：連接AC，BC，AD，OD，OC，
在Rt△ABC和Rt△ADH中，∠ACB=∠AHD=90°，∠ABC=∠ADH（同弧所對圓周角相等），
∴△ABC∽△ADH，
∴∠HAD=∠CAB，
∴∠HAC=∠DAB，
又∵∠DAB=45°（OA，OB，OD是半徑，D是半圓中點(diǎn)，△AOD是等腰直角三角形），
∴∠HAC=45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
在△AOH和△COH中，

OA=OC OH=OH AH=CH

，
∴△AOH≌△COH（SSS），
∴∠AHO=∠CHO，
∴OH平分∠AHC．

（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分線，
則OH垂直平分AC，交點(diǎn)標(biāo)注為M，
則MA=MC=MH=

1

2

AC=3，
在Rt△ABC中AB=

AC2+BC2

=2

13

，
則OA=

13

，
在Rt△OMA中，OM=

OA2-MA2

=2，
∴OH=MH-OM=3-2=1．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合，涉及了全等三角形的判定的與性質(zhì)、勾股定理及圓周角定理，綜合性較強(qiáng)，解答本題要求同學(xué)們具備扎實的基本功，能將所學(xué)知識融會貫通．