Question

已知：在正方形ABCD的BC上取一點E，連接AE，把圖形沿AE邊翻折，問：
（1）當點B的對稱點B′落在對角線AC上時，求tan∠AEB的值；（結果保留根號）
（2）過點B′作的平行線BH交AD 于F交BC于H，判斷此時△EB′C與△AFB′相似嗎？如果相似，求出△EB′C與△AFB′相似的相似比．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）先設BE=x，則EB′=x，根據(jù)翻折性質易知△≌△AB′E，那么∠AB′E=90°，結合正方形性質易證△EB′C為等腰直角三角形，利用勾股定理可求EC，從而可求BC，進而可求tan∠AEB；
（2）根據(jù)平行線的性質、正方形的性易知△AB′F與△EB′C均為等腰直角三角形，那么△AB′F∽△EB′C．易知B′H是△B′CE的高，根據(jù)三線合一定理可知CH=

1

2

CE，進而可求AF，從而可求相似比

AF

B′C

．

解答：解：如圖所示，
（1）設BE=x，則EB′=x，△EB′C為等腰直角三角形，
∴EC=

2

x，
∴BC=x+

2

x=（1+

2

）x，
∴tan∠AEB=

AB

BE

=

BC

BE

=1+

2

；

（2）相似．因為△AB′F與△EB′C均為等腰直角三角形．
∵AF=BC-CH，CH=

1

2

CE=

2

2

x，
∴AF=（1+

2

）x-

2

2

x=x+

2

2

x，
∴相似比=

AF

B′C

=

x+ 2 2 x

x

=1+

2

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、正方形的性質、平行線的性質、等腰三角形三線合一性質．解題的關機那是求出BC，AF．