Question

宏遠廣告公司要為某企業(yè)的一種產(chǎn)品設計商標圖案，給出了如下幾種初步方案，供繼續(xù)設計選用（設圖中圓的半徑均為r）
（1）如圖1，分別以線段O₁O₂的兩個端點為圓心，以這條線段的長為半徑作出兩個互相交錯的圓的圖案，試求兩圓相交部分的面積；
（2）如圖2，分別以等邊△O₁O₂O₃的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑，作出三個兩兩相交的相同的圓，這時，這三個圓相交部分的面積又是多少呢？
（3）如圖3，分別以正方形O₁O₂O₃O₄的四個頂點為圓心，以其邊長為半徑，作出四個相同的圓，這時，這四個圓相交部分的面積又是多少呢？

Answer 1

分析：（1）設兩圓交于A，B兩點，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
求兩圓相交部分的面積，即求S_菱形+4S_弓的面積．由題意知△O₁O₂A為正三角形，四個弓形的圓心角為60°，分別求出求S_菱形，及弓形的面積即可；
（2）求三個圓相交部分的面積，即求S_△O1O2A+3S_弓．由題意知△O₁O₂A為正三角形，三個弓形的圓心角為60°，分別求△O₁O₂O₃的面積，及弓形的面積即可；
（3）要求四個圓相交部分的面積，即求S_正方形-4SO1AB，而SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4，由（1）可求SO1BO4．

解答：解：（1）設兩圓交于A，B兩點，連接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
則S_陰=S_菱形+4S_弓．
∵S_菱形=2S△AO1O2，△O₁O₂A為正三角形，其邊長為r．
∴S△AO1O2=

3 r2

4

，S_弓=

60πr2

360

-

3 r2

4

=

πr2

6

-

3 r2

4

．
∴S_陰=2×

3 r2

4

+4（

πr2

6

-

3 r2

4

）=

2

3

πr²-

3

2

r²．


（2）圖2陰影部分的面積為：
S_陰=S△O1O2O3+3S_弓
∵△O₁O₂O₃為正三角形，邊長為r，
∴S△O1O2O3=

3 r2

4

．
∴S_弓=

60πr2

360

-

3 r2

4

．
S_陰=

3 r2

4

+3（

60πr2

360

-

3 r2

4

）=

πr2

2

-

3 r2

2

．

（3）延長O₂O₁與⊙O₁交于點A，⊙O₁與⊙O₄交于點B．
由（1）知，SO1BO4=

1

2

（

2

3

πr2-

3 r2

2

）．
∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=

90πr2

360

-

1

2

（

2

3

πr2-

3 r2

2

）=

πr2

4

-

1

3

πr2+

3 r2

4

，
則S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r²-4（

πr2

4

-

1

3

πr2+

3 r2

4

）=（

1

3

π+1-

3

）r²．

點評：本題難度較大，考查圓與圓的位置關系中，互相交錯的圓的圖案的面積問題，同時考查了綜合應用能力及推理能力．