Question

【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D，交BC的延長線于點E.

（1）求證：∠DAC＝∠DCE；

（2）若AE＝ED=2,求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為

【解析】分析：（1）由切線的性質可知∠DAB=90°，由直角所對的圓周為90°可知∠ACB=90°，根據同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性質可知∠B=∠OCB，由對頂角的性質可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）先證明△DCE∽△DAC，求出CD的長，設⊙O的半徑為x,則OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理列方程即可求出半徑的長.

詳解：證明：（1）AD是⊙O的切線，

∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠ABC＝90°，

∴∠DAC＝∠B，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，

又∵∠DCE＝∠OCB，

∴∠DAC＝∠DCE；

解：（2） ∵∠DAC=∠DCE, ∠D=∠D，

∴△DCE∽△DAC，

∴即，

∴DC= .

設⊙O的半徑為x,則OA=OC=x，

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

，

解得x = ，

答：⊙O的半徑為。