已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點,∠EDF=90°,∠EDF繞D點旋轉,它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F.
(1)當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時(如圖1),易證S△DEF+S△CEF=
12
S△ABC
(2)當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,不需證明.
精英家教網(wǎng)
分析:先作出恰當?shù)妮o助線,再利用全等三角形的性質進行解答.
解答:解:(1)顯然△AED,△DEF,△ECF,△BDF都為等腰直角三角形,且全等,
則S△DEF+S△CEF=
1
2
S△ABC
(2)圖2成立;圖3不成立.
圖2證明:過點D作DM⊥AC,DN⊥BC,則∠DME=∠DNF=∠MDN=90°,
又∵∠C=90°,
∴DM∥BC,DN∥AC,
∵D為AB邊的中點,
由中位線定理可知:DN=
1
2
AC,MD=
1
2
BC,
∵AC=BC,
∴MD=ND,
∵∠EDF=90°,
∴∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°,
∴∠MDE=∠NDF,
在△DME與△DNF中,
∠DME=∠DNF
MD=ND
∠MDE=∠NDF
,
∴△DME≌△DNF(ASA),
∴S△DME=S△DNF,
∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF,
由以上可知S四邊形DMCN=
1
2
S△ABC,
∴S△DEF+S△CEF=
1
2
S△ABC精英家教網(wǎng)
圖3不成立,連接DC,
證明:△DEC≌△DBF(ASA,∠DCE=∠DBF=135°)
∴S△DEF=S五邊形DBFEC,
=S△CFE+S△DBC,
=S△CFE+
S△ABC
2
,
∴S△DEF-S△CFE=
S△ABC
2

故S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是:S△DEF-S△CEF=
1
2
S△ABC
點評:利用作出的輔助線將不規(guī)則的三角形轉化為直角三角形進行解決.
練習冊系列答案
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A、
168
5
π
B、24π
C、
84
5
π
D、12π

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72
°.

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