Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），將線段OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______．
（2）若過點(diǎn)P的直線L₁的函數(shù)解析式為y=2x，求過點(diǎn)P且與直線L₁垂直的直線L₂的函數(shù)解析式；
（3）若直線L₁的函數(shù)解析式為y=x+4，直線L₂的函數(shù)解析式為y=-x-2，求證：直線L₁與直線L₂互相垂直；
（4）設(shè)直線L₁的函數(shù)關(guān)系式為y=k₁x+b₁，直線L₂的函數(shù)關(guān)系式為y=k₂x+b₂（k₁•k₂≠0）．根據(jù)以上的解題結(jié)論，請(qǐng)你用一句話來總結(jié)概括：直線L₁和直線L₂互相垂直與k₁、k₂的關(guān)系．
（5）請(qǐng)運(yùn)用（4）中的結(jié)論來解決下面的問題：
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，2），求線段AB的垂直平分線的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可知，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，坐標(biāo)互換，縱坐標(biāo)變號(hào)．
（2）過點(diǎn)P的直線L₁的函數(shù)解析式為y=2x，與x軸成α角，即tanα=2，與直線L₁垂直的直線L₂的函數(shù)解析式為y=kx+b，即tanβ=k，又兩直線垂直，故其夾角為90°，即tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]=0．且P（1，2），代入方程，即可得出．
（3）設(shè)兩函數(shù)與x軸的夾角分別為a，b，即tana=1，tanb=-1，代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]即可．
（4）直線L₁和直線L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．
（5）由兩點(diǎn)式可知兩點(diǎn)所在直線的斜率，根據(jù)（4）的結(jié)論以及A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)即可得出函數(shù)解析式．
解答：解：（1）由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可知，Q（-2，1）．

（2）直線L₁：y=2x，即tanα=2，設(shè)直線L₂的函數(shù)解析式為y=kx+b，即tanβ=k，
又兩直線垂直，tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]，所以tana tanb=-1，即2k=-1，
即k=，
又因?yàn)橹本�L₂過點(diǎn)P，，
得b=，
故直線L₂的函數(shù)解析式為：．

（3）設(shè)直線L₁、直線L₂與x軸的夾角分別為a，b，即tana=1，tanb=-1，
代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]，可知1+tana tanb=0；即tan（b-a）無意義，
即兩直線夾角為90°，即證直線L₁與直線L₂互相垂直；

（4）直線L₁和直線L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．

（5）設(shè)線段AB的垂直平分線的函數(shù)解析式為y=kx+b．
由（4）可知，即k=-，又過AB的中點(diǎn)（2，-2），代入函數(shù)式，可得b=，即線段AB的垂直平分線的函數(shù)解析式為y=．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了學(xué)生對(duì)直線互相垂直時(shí)兩斜率之積為-1的證明，要求學(xué)生對(duì)此類題熟練掌握．