Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長AC到D，使CD=BC，點P是△ABD的內心，則∠BPC=（ ）
A.105°
B.110°
C.130°
D.145°

Answer 1

【答案】D
【解析】解：連接PD，如圖，連接AP并延長交BC于E， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）= （180°﹣40°）=70°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠CBD，
而∠ACB=∠D+∠CBD，
∴∠CBD= ∠ACB=35°，
∴∠ABD=35°+70°=105°，
∵點P是△ABD的內心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD= ∠ABD=52.5°，
∴∠PBC=52.5°﹣35°=22.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=22.5°，
∴∠BPC=180°﹣22.5°﹣22.5°=145°．
故選D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對三角形的內切圓與內心的理解，了解三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．