Question

如圖所示，已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連結DE。
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連結OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形， 并在此條件下求sin∠CAE的值。

Answer 1

解：（1）證明：連結OD、DB，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E為BC邊上的中點，
∴CE=EB=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDB+∠ODB=∠EBD+ ∠OBD。
在Rt△ABC中，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODE=90°。
∵D為⊙O上的點，∴DE是⊙O切線。
（2）解：欲使四邊形AOED為平行四邊形，只需DE=OA，
∵DE=BC，OA=AB，
∴BC=AB，即BC=AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
故當∠CAB=45°時，四邊形AOED 是平行四邊形
 作EF⊥AC，垂足為F，
設CE=EB=ED=k，
∴AB=2k，∴DB=，∴EF=。
∴AE=