Question

（2012•龍崗區(qū)模擬）已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，
（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）先表示出BE的長(zhǎng)度并求出△ABC的面積，再判定△BEF和△ABC相似，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△BEF的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可得到S與m的關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分①AB是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)Q是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；②AB是邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等先求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）由方程x²-10x+16=0得，x₁=2，x₂=8，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OB＜OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-6，0），
∵點(diǎn)A、B、C都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

4a+2b+c=0 c=8 36a-6b+c=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3 c=8

，
∴此拋物線的表達(dá)式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（2）∵A（-6，0），B（2，0），AE的長(zhǎng)為m，
∴AB=2-（-6）=2+6=8，BE=8-m，
S_△ABC=

1

2

×8×8=32，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴

△BEF的面積

△ABC的面積

=（

8-m

8

）²，
∴△BEF的面積=32×

1

64

（8-m）²=

1

2

（8-m）²，
由EF∥AC可得

BF

CF

=

BE

AE

=

8-m

m

，
等高的三角形的面積的比等于底邊的比可得：

△BEF的面積

△CEF的面積

=

BF

CF

=

8-m

m

，
∴S=

m

8-m

×

1

2

（8-m）²=

1

2

m（8-m）=-

1

2

m²+4m（0＜m＜8），
又∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m²-8m+16）+8=-

1

2

（m-4）²+8，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，最大值是8，
此時(shí)，OE=6-4=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）；

（3）存在點(diǎn)Q（-2，

32

3

）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
理由如下：①很明顯，當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q在頂點(diǎn)時(shí)，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形可以為平行四邊形，
此時(shí)y=-

2

3

x²-

8

3

x+8=-

2

3

（x+2）²+

8

3

+8=-

2

3

（x+2）²+

32

3

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，

32

3

），
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，

32

3

），
②當(dāng)AB為邊時(shí)，∵AB=8（已求），
∴PQ=8，
∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸x=-2上，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為6或-10，
當(dāng)橫坐標(biāo)為6時(shí)，y=-

2

3

×6²-

8

3

×6+8=-32，
當(dāng)橫坐標(biāo)是-10時(shí)，y=-

2

3

×（-10）²-

8

3

×（-10）+8=-32，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，-32）或（-10，-32），
故存在點(diǎn)Q（-2，

32

3

）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要有一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，以及平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，（3）注意要分AB是對(duì)角線與邊兩種情況討論．