Question

已知一元二次方程x²＋ax＋a－2＝0．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)a＜0，當(dāng)二次函數(shù)y＝x²＋ax＋a－2的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)椤鳎?i>a²－4(a－2)＝(a－2)²＋4＞0，
所以不論a為何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)x₁、x₂是y＝x²＋ax＋a－2＝0的兩個(gè)根，則x₁＋x₂＝－a，x₁•x₂＝a－2，因兩交點(diǎn)的距離是，
所以|x₁－x₂|＝＝．即：(x₁－x₂)²＝13
變形為：(x₁＋x₂)²－4x₁•x₂＝13所以：(－a)²－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因?yàn)椋?i>a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函數(shù)的解析式為y＝x²－x－3．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，
所以：AB＝所以：S_△PAB＝AB•|y₀|＝
所以：＝
即：|y₀|＝3，則y₀＝±3
當(dāng)y₀＝3時(shí)，x₀²－x₀－3＝3，即(x₀－3)(x₀＋2)＝0
解此方程得：x₀＝－2或3
當(dāng)y₀＝－2時(shí)，x₀²－x₀－3＝－3，即x₀(x₀－1)＝0
解此方程得：x₀＝0或1
綜上所述，所以存在這樣的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．解析:
（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了，（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離公式解答即可．(3)是二次函數(shù)綜合應(yīng)用問題和三角形的綜合應(yīng)用