Question

（2012•門頭溝區(qū)一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（1+2k）x+k²-2=0有兩個實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k為負整數(shù)時，拋物線y=x²-（1+2k）x+k²-2與x軸的交點是整數(shù)點，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點A，過A作x軸的平行線與拋物線交于點B，連接OB，將拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線的頂點落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根，求出根的判別式，即可求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中求出的k的取值范圍，分別討論k=-2，k=-1時的情況，求出拋物線的解析式；
（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2），設(shè)OB的解析式為y=mx+2，

解答：解：（1）由題意得，（1+2k）²-4（k²-2）≥0，
解得，k≥-

9

4

K的取值范圍是k≥-

9

4

．

（2）k為負整數(shù)，k=-2，-1．
當k=-2時，y=x²+3x+2與x軸的兩個交點是（-1，0）（-2，0）是整數(shù)點，符合題意，
當k=-1時，y=x²+x-1與x軸的交點不是整數(shù)點，不符合題意，
拋物線的解析式是y=x²+3x+2．

（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2）
設(shè)OB的解析式為y=mx+2，解得m=-

2

3

OB的解析式為y=-

2

3

x，y=x²+3x+2的頂點坐標是（-

3

2

，-

1

4

）
OB與拋物線對稱軸的交點坐標（-

3

2

，1），
直線AB與拋物線對稱軸的交點坐標是（-

3

2

，2），
由圖象可知，n的取值范圍是

5

4

＜n＜

9

4

，

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象平移的知識，此題數(shù)形結(jié)合比較方便．