Question

（2013•泉州質(zhì)檢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：AB=

5

5

cm；
（2）若0＜t＜5，試問(wèn)：t為何值時(shí)，△PCQ與△ACB相似；
（3）若∠ACB的平分線CE交△PCQ的外接圓于點(diǎn)E．試探求：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PC、QC、EC三者存在的數(shù)量關(guān)系式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．當(dāng)∠PQC=∠A時(shí)，△PCQ∽△BCA，得出

CQ

CA

=

PC

BC

，代入求出即可；當(dāng)∠PQC=∠B時(shí)，△PCQ∽△ACB，得出

CQ

CB

=

PC

AC

，代入求出即可；
（3）分為兩種情況：畫(huà)出圖形，當(dāng)0＜t＜5時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作HE⊥CE交AC于H，求出∠HEP=∠CEQ，∠QCE=∠PCE=45°，PE=QE，證△QCE≌△PHE，推出QC=PH，根據(jù)勾股定理求出即可；當(dāng)t≥5時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB=

102+52

=5

5

（cm）
故答案為：5

5

；

（2）如圖1，由題意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
當(dāng)∠PQC=∠A時(shí)，△PCQ∽△BCA，
由

CQ

CA

=

PC

BC

可得

5-t

10

=

2t

5

，
解得：t=1，
當(dāng)∠PQC=∠B時(shí)，△PCQ∽△ACB，
由

CQ

CB

=

PC

AC

可得

5-t

5

=

2t

10

，
解得t=

5

2

，
∴當(dāng)t=1或

5

2

秒時(shí)，△PCQ與△ACB相似； 

（3）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，如圖2，
過(guò)點(diǎn)E作HE⊥CE交AC于H，則∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ為△PCQ的外接圓的直徑，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴

PE

=

QE

，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中

∠PEH=∠CEQ ∠PHE=∠ECQ PE=EQ

∴△QCE≌△PHE（AAS）
∴QC=PH，
在Rt△HEC中，EC²+EH²=HC²，EC=EH，
即2EC²=（CP+CQ）²
∴CP+CQ=

2

EC；
當(dāng)t≥5時(shí)，如圖3，
過(guò)點(diǎn)E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，
∴CP-CQ=

2

EC，
綜上所述，當(dāng)0＜t＜5時(shí)，CP+CQ=

2

EC；當(dāng)t≥5時(shí)，CP-CQ=

2

EC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，三角形的外接圓，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．