Question

拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），△ABM的三個(gè)內(nèi)角∠M、∠A、∠B所對(duì)的邊分別為m、a、b．若關(guān)于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）判斷△ABM的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-1）時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式，并畫(huà)出該拋物線(xiàn)的大致圖形．
（3）若平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于C、D兩點(diǎn)，以CD為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于關(guān)于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程的判別式可以得到△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0，進(jìn)一步得到a²+b²=m²，由勾股定理的逆定理和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性從而確定三角形△ABM的形狀；
（2）把二次函數(shù)解析式設(shè)為y=t（x+2）²-1，由（1）知道△ABM是等腰直角三角形，而斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，又頂點(diǎn)M（-2，-1），所以

1

2

AB=1，即AB=2，從而求出A，B的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入y=t（x+2）²-1就可以求出t，也就求出了拋物線(xiàn)的解析式，再根據(jù)解析式畫(huà)出圖象；
（3）設(shè)平行于x軸的直線(xiàn)為y=k，可以得到方程組

y=k y=x2+4x+3

，解方程組得到x1=-2+

k+1

，x2=-2-

k+1

（k＞-1），可以得到線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為2

k+1

，又以CD為直徑的圓與x軸相切，所以

k+1

=|k|，解此方程求出k，就可以求出該圓的圓心坐標(biāo)了．

解答：解：（1）令△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0
得a²+b²=m²
由勾股定理的逆定理和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知
△ABM是一個(gè)以a、b為直角邊的等腰直角三角形；

（2）設(shè)y=t（x+2）²-1
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半
又頂點(diǎn)M（-2，-1）
∴

1

2

AB=1，即AB=2
∴A（-3，0），B（-1，0）
將B（-1，0）代入y=t（x+2）²-1中得t=1
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=（x+2）²-1，即y=x²+4x+3
圖象如圖：

（3）設(shè)平行于x軸的直線(xiàn)為y=k
解方程組

y=k y=x2+4x+3

得x1=-2+

k+1

，x2=-2-

k+1

（k＞-1）
∴線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為2

k+1

∵以CD為直徑的圓與x軸相切
據(jù)題意得

k+1

=|k|
∴k²=k+1
解得k=

1± 5

2

∴圓心坐標(biāo)為（-2，

1+ 5

2

）和（-2，

1- 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根的判別式，等腰直角三角形的性質(zhì)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)與圓相切等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．