Question

【題目】當(dāng)k值相同時(shí)，我們把正比例函數(shù)與反比例函數(shù)叫做“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.

(1)如圖，若k>0，這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（用k表示）；

(2)若k=1，點(diǎn)P是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B重合），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），其中m>0且m≠2.作直線PA，PB分別與x軸交于點(diǎn)C，D，則△PCD是等腰三角形，請說明理由；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，是否存在點(diǎn)P使△PCD為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（-k，-1），點(diǎn)B坐標(biāo)（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形；，理由見解析；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式即可；

（2）先求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得到PC=PD即可；

（3）過點(diǎn)P作PH⊥CD于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CD=2PH，可求m的值；然后再點(diǎn)P不與B重合即可解答．

解：（1）∵兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴，解得：或

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-k，-1），點(diǎn)B坐標(biāo)（k，1）；

（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：

∵k=1

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-1）和（1，1），

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）

∴直線PA解析式為：

∵當(dāng)y=0時(shí)，x=m-1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m-1，0）

同理可求直線PB解析式為：

∵當(dāng)y=0時(shí)，x=m+1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m+1，0）

∴，

∴PC=PD

∴△PCD是等腰三角形；

（3）如圖：過點(diǎn)P作PH⊥CD于H

∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，

∴CD=2PH，

∴m+1-（m-1）=2×，解得m=1

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），

∵點(diǎn)B（1，1）與點(diǎn)函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)P不重合

∴不存在點(diǎn)P使△PCD為直角三角形．