Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c和直線y=x+2都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5，拋物線的頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若E、F是x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF=2，求四邊形AEFB周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)M，點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)為B'，點(diǎn)P是以M為圓心，MC為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出BP+

2

B′P的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5）．把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，利用方程組來求b、c的值；根據(jù)所求得的函數(shù)解析式來求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）AB、EF的長為定值，當(dāng)四邊形AEFB的周長最小時(shí)，AE+BF的值最小．
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'E，作BH⊥y軸，垂足為點(diǎn)H，在BH上截取BD=2，連結(jié)DE．構(gòu)建?BDEF，則BF=DE．當(dāng)點(diǎn)E在直線A'D上時(shí)，A'E+DE=A′D=

A′H2+HD2

=

72+12

=5

2

．則四邊形AEFB周長的最小值=A′D+AB+EF=2+8

2

．此時(shí)

OE

HD

=

A′O

A′H

，所以OE=

HD•A′O

A′H

=

2

7

．
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AM、BM的長，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB′，然后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNP和△MPB相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出2PN=

2

′P，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊判斷出Q、N、B′三點(diǎn)共線時(shí)BP+

2

B′P最小，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）將x=0代入y=x+2，得y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）．
將y=5代入y=x+2，得x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5）．
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴

c=2 9+3b+c=5

，
解得

b=-2 c=2

．
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²-2x+2．
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1）．

（2）∵AB、EF的長為定值，
∴當(dāng)四邊形AEFB的周長最小時(shí)，AE+BF的值最�。�
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'E，則AE=A'E．
作BH⊥y軸，垂足為點(diǎn)H，在BH上截取BD=2，連結(jié)DE．
易證四邊形BDEF是平行四邊形，則BF=DE．
∴AE+BF=A'E+DE．
當(dāng)點(diǎn)E在直線A'D上時(shí)，A'E+DE的值最�。�
∴AE+BF的最小值為A'D，A′D=

A′H2+HD2

=

72+12

=5

2

．
又∵AB=

AH2+BH2

=

32+32

=3

2

，EF=2，
∴四邊形AEFB周長的最小值=A′D+AB+EF=2+8

2

．
此時(shí)∵OE∥HD，
∴

OE

HD

=

A′O

A′H

，
∴OE=

HD•A′O

A′H

=

2

7

．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

2

7

，0）；

（3）BP+

2

B′P的最小值為2+2

2

．
理由如下：如圖2，∵A（0，2），B（3，5），
∴直線AB的解析式為：y=x+2．
∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），
∴M（1，3）
∴AM=

2

，MC=2，
∴圓M的半徑為2．
取MB的中點(diǎn)N，連接PB、PN、PB′，
則MN=

1

2

MB=

2

，B′M=BM，
∵

MN

PM

=

PM

B′M

=

2

2

，∠PMN=∠B′MP，
∴△MNP∽△MPB′，
∴

PN

B′P

=

MN

MP

=

2

2

，
∴

2

B′P=2PN．
由三角形三邊關(guān)系，當(dāng)P、N、B′三點(diǎn)共線時(shí)BP+

2

B′P最小，
此時(shí)點(diǎn)P是直線BB′與圓M的切點(diǎn)．則
BP+

2

B′P最小值=BP+2PN=BP+BM=2+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)解析式的轉(zhuǎn)化，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題難點(diǎn)在于（3），作輔助線構(gòu)造出相似三角形并得到與

2

B′P相等的線段是解題的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵．