Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（x₁，0）．頂點(diǎn)為P．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-4），求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，k），k＜0，點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QB+QP的最小值為5時(shí)，求此拋物線的解析式和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）²-4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出a的值，繼而確定此拋物線的解析式；
（2）設(shè)頂點(diǎn)P（-1，k）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，則P'（1，k），當(dāng)直線BP′與y軸的交點(diǎn)為Q時(shí)，QB+QP取得最小值，由最小值為5，在Rt△BHP'中求出HP'的長(zhǎng)，得出P點(diǎn)坐標(biāo)后可確定拋物線解析式，求出直線BP'的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)P（-1，-4），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²-4，
將A（1，0）代入可得：0=4a-4，
解得：a=1，
故拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（2）如圖，∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，且經(jīng)過(guò)A（1，0），

∴B（-3，0），

設(shè)頂點(diǎn)P（-1，k）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，則P'（1，k），

當(dāng)直線BP′與y軸的交點(diǎn)為Q時(shí)，QB+QP取得最小值，
過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥y軸的交點(diǎn)為H，由B（-3，0），P′（1，k），得BH=4，
在Rt△BHP′中，HP′=

BP′2-BH2

=

52-42

=3，
由k＜0得k=-3，
∴P（-1，-3），
設(shè)y=a（x+1）²-3，把點(diǎn)A（1，0）代入得：0=4a-3，
解得：a=

3

4

，
∴y=

3

4

（x+1）²-3，
故可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)直線BP'的解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)B（-3，0）、點(diǎn)P'（1，-3）代入可得：

-3k+b=0 k+b=-3

，
解得：

k=- 3 4 b=- 9 4

，
故直線BP'的解析式為：y=-

3

4

x-

9

4

，
令x=0，則y=-

9

4

，
故Q的坐標(biāo)為（0，-

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及勾股定理的知識(shí)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及方程思想的綜合運(yùn)用，難度較大．