Question

如圖，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）k=

-3

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-1，0）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（3，0）

；
（2）設(shè)拋物線y=x²-2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在直線BC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的圓是⊙P，請(qǐng)直接寫(xiě)出：它的半徑長(zhǎng)為

5

，圓心P的坐標(biāo)為

（1，-1）

．

Answer 1

分析：（1）將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=x²-2x+k，就可以求出k值，當(dāng)y=0時(shí)就可以求出A、B的橫坐標(biāo)，從而求出A、B的坐標(biāo)．
（2）由（1）的解析式可以求出M的坐標(biāo)，作MG⊥x軸于G，四邊形ABMC的面積=S_△AOC+S_{四邊形OCMG}+S_△GMB，就可以求出四邊形ABMC的面積；
（3）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，作DH⊥x軸，則四邊形ABDC的面積=S_△AOC+S_{四邊形OCDH}+S_△HDB，表示出來(lái)，化為頂點(diǎn)式就可以求出其最值了．
（4）設(shè)出P的坐標(biāo)，由圓的方程公式可以求出圓P的半徑及P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-3），
∴k=-3，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，當(dāng)y=0時(shí)，
∴x²-2x-3=0，解得：
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
故答案為：-3，（-1，0），（3，0）

（2）∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），作MG⊥x軸，
∴MG=4，OG=1．
∵A（-1，0），C（0，-3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，GB=2，
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_{四邊形OCMG}+S_△GMB，
=

1×3

2

+

(3+4)×1

2

+

4×2

2

=5+4
=9


（3）設(shè)D（x，x²-2x-3），
∴OH=x，DH=2x+3-x²，HB=3-x
∴S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_{四邊形OCDH}+S_△HDB，
=

3

2

+

(3+2x+3-x2)x

2

+

(3-x)(2x+3-x2)

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

∴x=

3

2

時(shí)，S_{四邊形ABDC}的最大值為

75

8

，
∴y=

9

4

-3-3=-

15

4

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）


（4）P（1，-1），⊙P的半徑為：

5

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，多邊形的面積，三角形的外接圓與外心．