Question

7．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，直線EF直線EF過點O與AD、BC相交于點E、F，
（1）求證：OE=OF．
（2）若直線EF與DC、BA的延長線相交于F、E，請為（1）結(jié)論是否還成立嗎？如成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）若平行四邊形的面積為20，BC=10，CD=6，直線EF在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段EF何時最短？并求出EF的最小值？

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△AOF≌△COE（ASA），即可得OE=OF；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△AOE≌△COF（AAS），即可證得OE=OF；
（3）根據(jù)平行線間距離最短判斷出EF⊥BC時，EF最短，最后根據(jù)平行四邊形的面積即可確定出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF；
（2）成立．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠E=∠F，
在△OAE和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（3）①當直線EF在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，直線EF與AD，BC相交時，EF⊥BC時，EF最短，
∵平行四邊形的面積為20，BC=10，
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC•EF=10×EF=20，
∴EF=2．
∴直線EF在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，EF⊥BC時，EF最短，EF的最小值為2．
②當直線EF在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，直線EF與DC、BA的延長線相交時，EF⊥AD時，EF最短，
同①的方法，得出EF最小值為$\frac{20}{6}$=$\frac{10}{3}$，
即：直線EF在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，EF⊥BC時，EF最短，EF的最小值為2．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，平行線間的距離最短，解（1）（2）的關(guān)鍵是判斷出△AOE≌△COF，解（3）的關(guān)鍵是判斷出EF⊥BC時，EF最短．