Question

閱讀下面材料：
如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．如圖1 所示，平行四邊形ABCD即為△ABC的“友好平行四邊形”．
請解決下列問題:
（1）仿照以上敘述,說明什么是一個(gè)三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是鈍角三角形，則△ABC顯然只有一個(gè)“友好矩形”， 若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有           個(gè)；
（3）若△ABC是銳角三角形，且，如圖2，請畫出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周長最小的“友好矩形”并說明理由.

Answer 1

（1）說明見解析；（2）2；（3）作圖見解析，周長最小的“友好矩形”是矩形ABHK，理由見解析.

試題分析：（1）類似“友好平行四邊形”的定義，即可寫出“友好矩形”的定義.
（2）如圖，此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF． 

（3）分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊，過第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對邊，從而畫出矩形，根據(jù)三角形和矩形的面積公式，可知三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)矩形的面積是S，三角形的三條邊分別是a，b，c．根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊，進(jìn)一步求得其周長，運(yùn)用求差法比較它們的周長的大小．
試題解析：（1）三角形的一邊與矩形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上. 
（2）2；  
（3）畫圖如下：

周長最小的“友好矩形”是矩形ABHK. 理由如下：
易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S，設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L₁，L₂，L₃，
△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則：，
∴.
而ab＞S，a＞b，
∴＞0，即.
同理可得，，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周長最小．