Question

（2013•工業(yè)園區(qū)二模）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，點C是AB的中點，CD⊥AB且CD=AB．直線BE與y軸平行，點F是射線BE上的一個動點，連接AD、AF、DF．
（1）若點F的坐標為（

9

2

，1），AF=

17

．
①求此拋物線的解析式；
②點P是此拋物線上一個動點，點Q在此拋物線的對稱軸上，以點A、F、P、Q為頂點構成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的長為kt，其中t＞0．如圖2，當∠DAF=45°時，求k的值和∠DFA的正切值．

Answer 1

分析：（1）①在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AB的長，則A的坐標可以求得，然后代入二次函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式；
②分四邊形AFPQ、AFQP，AQFP、AQPF四種情況進行討論，當AF時對角線時，P一定是頂點，根據(jù)對角線互相平分即可求得Q的坐標；當AF時平行四邊形的一邊時，P到對稱軸的距離一定等于AB，即可求得Q的橫坐標，則過P作PM⊥對稱軸于M，則BF=DM，據(jù)此即可求得Q的坐標．
（2）首先求得點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（2t+2，0），再根據(jù)AB的長即可求得k的值，過點D作DG∥x軸交BE于點G，則易證四邊形ABGH是矩形，同理四邊形CBGD是矩形，在Rt△DGF中，DF²=DG²+GF²，據(jù)此即可得到一個關于t的方程，解方程即可求得BF的長，利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）①∵直線BE與y軸平行，點F的坐標為（

9

2

，1），
∴點B的坐標為（

9

2

，0），∠FBA=90°，BF=1．
在Rt△EFM中，AF=

17

，
∴AB=

AF2-FB2

=

17-1

=4．
∴點A的坐標為（

1

2

，0）．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

(x-

1

2

)(x-

9

2

)=

1

2

x2-

5

2

x+

9

8

．

②第一：以AF為對角線，拋物線頂點為一個頂點．
第二：以AF為其中一條邊分別向左和向右做平行四邊形．
∴點Q的坐標為：Q₁（

5

2

，3），Q₂（

5

2

，5），Q₃（

5

2

，7）．

（2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
∴c=2t+2．
∴y=

1

2

x2-(2+t)x+2t+2．
由 

1

2

x2-(2+t)x+2t+2=0，（x-2）（x-2t-2）=0．
解得 x₁=2，x₂=2t+2．
∵t＞0，
∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（2t+2，0）．
∴AB=2t+2-2=2t，
即 k=2．
過點D作DG∥x軸交BE于點G，
AH∥BE交直線DG于點H，延長
DH至點M，使HM=BF．（如圖）
∵DG∥x軸，AH∥BE，
∴四邊形ABGH是平行四邊形．
∵∠ABF=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
同理四邊形CBGD是矩形．
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°．
∵在△AFB和△AMH中，

AB=AH ∠ABF=∠AHM=90° BF=HM

∴△AFB≌△AMH（SAS）．
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
∴∠3+∠2=45°．
∵在△AFD和△AMD中，

AF=AM ∠FAD=∠MAD AD=AD

，
∴△AFD≌△AMD（SAS）．
∴∠DFA=∠M，F(xiàn)D=MD．
∴∠DFA=∠4．
∵C是AB的中點，
∴DG=CB=HD=t．
設BF=x，則GF=2t-x，F(xiàn)D=MD=t+x．
在Rt△DGF中，DF²=DG²+GF²，
∴（t+x）²=t²+（2t-x）²，
解得 x=

2t

3

．
∴tan∠DFA=tan∠4=

AB

FB

=2t÷

2t

3

=3．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的判定，三角形的全等的判定與性質以及勾股定理的綜合應用，難度較大．