Question

【題目】如圖，把△OAB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=，把△OAB沿x軸的負(fù)方向平移2OA的長(zhǎng)度后得到△DCE．

（1）若過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、E，求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)p在第一象限內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)p作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接OP．若以O(shè)、P、Q為定點(diǎn)的三角形與以B、C、E為定點(diǎn)的三角形相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M（﹣4，n）在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）P（1，）或P （，）；（3）存在，將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)，四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x+）2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求得B，E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為（x，），因?yàn)?/span>∠BEC=∠OQP=90°，所以以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，Q與E一定對(duì)應(yīng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，求解即可；（3）左右平移時(shí)，使M'D+CB'最短即可，那么作出點(diǎn)M′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為M″，得到直線B″M″的解析式，令y=0，求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)平移的規(guī)律，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可.

試題解析：（1）依題意得：B（2，），∵OC=2，CE=，∴E（﹣2，）．

∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)B、E，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2（a≠0）．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，），∴=4a．解得：a=．

∴拋物線的解析式為y=x2；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2）．

分兩種情況：（i）當(dāng)△OQP∽△BEC時(shí)，則，即 ，解得：x=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）；

（ii）當(dāng)△PQO∽△BEC時(shí)，則，即，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（1，）或P （，）；

（3）存在．

因?yàn)榫�段M′B′和CD的長(zhǎng)是定值，所以要使四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，只要使M′D+CB′最短．

如果將拋物線向右平移，顯然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，顯然應(yīng)該將拋物線 y=x2向左平移．

由題知M（﹣4，6）．設(shè)拋物線向左平移了n個(gè)單位，則點(diǎn)M′和B′的坐標(biāo)分別為

M′（﹣4﹣n，6）和B′（2﹣n，）．

因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B″（﹣n，）．

要使M′D+CB′最短，只要使M′D+DB″最短．點(diǎn)M′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為M″（﹣4﹣n，﹣6）．

設(shè)直線M″B″的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），點(diǎn)D應(yīng)在直線M″B″上，

∴直線M″B″的解析式為y=，將B″（﹣n，）代入，求得n=．

故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)，四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x+）2．