圖1是邊長(zhǎng)分別為和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起(C與C′重合).
(1)操作:固定△ABC,將△C′D′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE,連接AD,BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F(圖2).
探究:在圖2中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論;
(2)操作:將圖2中的△CDE,在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移,平移后的△CDE設(shè)為△PQR(圖3).
探究:設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為x秒,△PQR與△AFC重疊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍.

【答案】分析:(1)BE=AD,尋找證明△ADC≌△BEC(SAS)的條件.
(2)設(shè)PR、RQ分別交AC于G、H,QC=x,由題意易得∠RGH=90°,RH=3-QH=3-QC=3-x,分析可知,△GRH是30°的直角三角形,解直角三角形可求GR,GH,可表示△GRH的面積,用△PRQ的面積-△GRH的面積.
解答:解:(1)BE=AD.
∵△ABC,△CDE都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°
∵∠BCE=30°,
∴∠ACE=30°,
∴∠ACD=30°
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴BE=AD.

(2)設(shè)PR、RQ分別交AC于G、H,QC=x,
∵由(1)可知∠ACF=30°,∠PQR=60°,
∴∠CHQ=30°,
∴QH=QC,∠RHG=∠CHQ=30°,
∴∠RGH=90°,RH=3-QH=3-QC=3-x,
∴RG=(3-x),GH=(3-x),
所以SRt△GHR=RG•GH=(3-x)2,
而∵△C′D′E′的邊長(zhǎng)為3,得出S△PQR=,
∴重疊部分面積y=-(3-x)2
即:y=-+x+(0≤x≤3).
點(diǎn)評(píng):此題綜合性較強(qiáng),考查了全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì).
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