Question

如圖，點(diǎn)A是△ABC和△ADE的公共頂點(diǎn)，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k?AE，AC＝k?AD，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，直線(xiàn)AM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N．

⑴探究∠ANB與∠BAE的關(guān)系，并加以證明．

說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)解決問(wèn)題，可以從下面①②中選取一個(gè)作為已知條件，再完成你的證明，選�、俦冗x原題少得2分，選�、诒冗x原題少得5分．

①     如圖18，k＝1；②如圖19，AB＝AC．

⑵若△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中⑴的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)可以推廣的命題；如果有變化，請(qǐng)畫(huà)出變化后的一個(gè)圖形，并直接寫(xiě)出變化后∠ANB與∠BAE的關(guān)系．

 

Answer 1

（1）∠ANB+∠BAE=180º． ………………………………………………………1分

證明：（法一）如圖1，延長(zhǎng)AN到F，使MF=AM，連接DF、EF. ………………2分

∵點(diǎn)M是DE 的中點(diǎn)，∴DM=ME，

∴四邊形ADFE是平行四邊形 ，……………………………………………………3分

∴AD∥EF，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠AEF ， …………………………………………………………………4分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴………………………………………6分

∴△ABC∽△EAF

∴∠B=∠EAF   …………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º

即∠ANB+∠BAE=180º，………………………………………………………10分

（法二）如圖2，延長(zhǎng)DA到F，使AF=AD，連接EF.……………………2分

∵∠BAC+∠DAE=180º，∠DAE +∠EAF =180º，

∴∠BAC=∠EAF，………………………………………………………………3分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴， ………………………………………4分

∴△ABC∽△AEF， …………………………………5分

∴∠B=∠AEF，………………………………………6分

∵點(diǎn)M是DE 的中點(diǎn)，∴DM=ME，

又∵AF=AD，

∴AM是△DEF的中位線(xiàn)，

∴AM∥EF，…………………………………………7分

∴∠NAE=∠AEF，

∴∠B=∠NAE， ……………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º，

∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． …………………………10分

(2)變化．如圖3（僅供參考），∠ANB=∠BAE．（圖和結(jié)論各1分）………………12分

選�。ǎ�，如圖4.

證明：延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，連接DF、EF.

   ……………………………………………………2分

∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴DM=ME

∴四邊形ADFE是平行四邊形， …………………4分

∴AD∥FE，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠DAE，  ………………………………6分

∵AB=kAE，AC=kAD，，

∴AB=AE ，AC=AD，

∴AC=EF，………………………………………………………………………………7分

∴△ABC≌△EAF，

∴∠B=∠EAF，  ……………………………………………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º，

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． ……………………………………………………………10分

選�。ǎ�，如圖5.

證明：∵AB=AC，

∴∠B=（180º-∠BAC），…………………………………………………………3分

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠DAE=180º-∠BAC，

∴∠B=∠DAE，

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴AE=AD，

∵AM是△ADE的中線(xiàn)，AB=AC，

∴∠EAM=∠DAE，

∴∠B=∠EAM，……………………………………………………………………4分

∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º，

∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………………………………………5分