Question

如圖1直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸交于A、B兩點，C點為線段AO上一點，一動點P在x軸上．
（1）當P點運動到與原點O重合時，P點關于直線BC的對稱點恰好落在直線AB上，求此時PC的長；
（2）如圖2，若C點為線段AO的中點，問：P點運動到何處，點P關于直線BC的對稱點落在直線AB上？

Answer 1

分析：過S作SR∥WQ交WZ的延長線于R，由平行得到∠QWZ=∠SWZ和

WQ

SR

=

QZ

ZS

，根據(jù)等腰三角形的判定和性質得出WS=SR和

WQ

WS

=

QZ

ZS

；
（1）把x=0和y=0代入求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)上式得出的規(guī)律得出

OB

AB

=

PC

CA

，代入即可求出PC；
（2）設OP=x，根據(jù)上式得出的規(guī)律得到

BP

AB

=

PC

CA

，代入得出方程

2-x

2

=

32+x2

5

，求出即可．

解答：解：過S作SR∥WQ交WZ的延長線于R，
∴∠R=∠QWZ，
∵WZ平分∠QWS，
∴∠QWZ=∠SWZ，
∴∠R=∠SWZ，
∴WS=SR，
∵SR∥WQ，
∴

WQ

SR

=

QZ

ZS

，
∴

WQ

WS

=

QZ

ZS

，


（1）解：當x=0時，y=3，
當y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∵當P點運動到與原點O重合時，P點關于直線BC的對稱點恰好落在直線AB上，
∴

OB

AB

=

PC

CA

，
即：

3

5

=

PC

4-PC

，
解得：PC=

3

2

，
答：PC的長是

3

2

．

（2）解：設OP=x，
∴

BP

AB

=

PC

CA

，

2-x

2

=

32+x2

5

，
解得：x₁=4，x₂=

16

21

，
經(jīng)檢驗x=4不是原方程的解，舍去，
答：P點運動到OP=

16

21

時，點P關于直線BC的對稱點落在直線AB上．

點評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質平行線分線段成比例定理，三角形的角平分線等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．題型較好，難度適中．