Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，經(jīng)過、兩點的拋物線與軸的另一交點．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）是該拋物線上的動點，過點作軸于點，交于點，交軸于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

①求出四邊形的周長與的函數(shù)表達式，并求的最大值；

②當(dāng)為何值時，四邊形是菱形；

③是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時，的最大值為；②當(dāng)時，四邊形是菱形．③點的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)二次函數(shù)的解析式：，根據(jù)題意求出 ， 并代入求出a即可．

（2）①設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，即可求出．再根據(jù)平行線所截線段對應(yīng)成比例得到，用t表示CE，得 ．再根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可以得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得答案;

②要使四邊形是菱形，必有，即，解出t值即可;

③分兩種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)時，，求出對應(yīng)P坐標(biāo)即可;（Ⅱ）當(dāng)時，，求出對應(yīng)P坐標(biāo)即可．

（1）直線與軸、軸的交點坐標(biāo)分別為、．

∵拋物線與軸的另一交點．

∴設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達式為，

把點代入，得，解得．

∴所求拋物線的函數(shù)表達式為，

即．

（2）①設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，，

∴四邊形是平行四邊形.

∴．

∵，

∴當(dāng)時，的最大值為．

②要使四邊形是菱形，必有，

∴，整理得，解得，（舍去）．

∴當(dāng)時，四邊形是菱形．

③分兩種情況討論：

（Ⅰ）如下圖，當(dāng)時，，

∵，

∴軸．

∴，即.解得，（舍去） ．

∴點的坐標(biāo)為．

（Ⅱ）如下圖，過點作軸于點，當(dāng)時，，

∵

∴

又∵

∴

∵

∴，

∴，即，解得，（舍去）．

∴點的坐標(biāo)為．

綜上所述，點的坐標(biāo)為或．