Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與點B或點C重合），分別過點B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為點B′、C′、D′．求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值．

Answer 1

分析：找到S_{四邊形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC的等量關(guān)系，并且根據(jù)本等量關(guān)系計算得BB′+CC′+DD′=

2

AP

，根據(jù)AP的范圍計算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值．

解答：解：∵S_△DPC=S_△APC=

1

2

AP•CC′，
得S_{四邊形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC
=

1

2

AP（BB′+DD′+CC′），
于是BB′+CC′+DD′=

2

AP

．
又1≤AP≤

2

，
故

2

≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值為

2

，
最大值為2．
故最大值為2，最小值為

2

．

點評：本題涉及垂線可考慮用面積法來求．故找到S_{四邊形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC的等量關(guān)系，本題考查了極值的運算，考查了正方形各邊均相等且各內(nèi)角為90°的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是化簡得到BB′+CC′+DD′=

2

AP

的方程式，并根據(jù)AP的范圍求解．