Question

如圖，等腰梯形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，CD∥x軸，AB 在x軸上，AC平分∠DAB，直線AD的解析式為y=

4

3

x+4．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）動點P分別從點A出發(fā)，沿AB向終點B運動，速度為每秒2個單位長度，過點P作x軸的垂線，并交直線AC于點F，過F點作x軸的平行線交直線BC于點M，設(shè)點P運動時間為t秒，設(shè)線段FM的長度為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式（請直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，設(shè)△PFM的外接圓的圓心為K，連接FM、KM，當(dāng)t為何值時，直線PM與KF所夾銳角正切值為

3

4

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由直線AD的解析式為y=

4

3

x+4求出OA=3，OD=4，再根據(jù)角平分線定義和兩直線平行內(nèi)錯角相等可求得AD=CD=BC=5，過點C作CE⊥AB，就可求出OE=CD=5，CE=OD=4，從而求出點C的坐標(biāo)為（5，4）．
（2）先由（1）可求出AE=OA+OE=8，再根據(jù)題中條件可知tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

，從而可用含t的代數(shù)式表示PF=t，由于點P是從點A出發(fā)，沿AB向終點B運動的動點，所以應(yīng)分情況討論，即P在點E的左側(cè)和P在點E的右側(cè)可形成兩種不同的圖形．①當(dāng)點P在點E的左側(cè)時（0＜t＜4），PM交CE于點N，易得△CFM∽△CAB，從而利用

FM

AB

=

CN

CE

作為等量關(guān)系得到

y

11

=

4-t

4

，即可得y=11-

11

4

t；②當(dāng)點P在點E右側(cè)時（4＜t＜

11

2

），直線CE與MF交與點N′，方法與①相同，利用△CFM∽△CAB即可求得y=

11

4

t-11．
（3）過點F作FG⊥PM于點G，根據(jù)題意tan∠FKG=

3

4

，即可得到FG：GK=3：4，再利用勾股定理求出在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5，易得△FPG∽△MFG∽△MPF，然后利用三角形相似的相似比來求出對應(yīng)的t值．當(dāng)t=

44

15

時，PF=FM，所以①當(dāng)0＜t＜

44

15

時，PF=t＜FM=11-

11

4

t，利用

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

可求出t=

44

23

；②當(dāng)

44

15

＜t＜4時，PF=t＞FM=11-

11

4

t，利用

PF

FM

=

FG

GM

=3，可求t=

132

37

；③當(dāng)4＜t＜

11

2

時，PF=t，F(xiàn)M=

11

4

t-11，利用

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

，可求出t=

44

23

．

解答：解：（1）由直線AD的解析式為y=

4

3

x+4可知
當(dāng)x=0時，y=4，即點D坐標(biāo)為（0，4）
當(dāng)y=0時，x=-3，即點A的坐標(biāo)為（-3，0）
故OA=3，OD=4
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
∵CD∥AB  AD=BC
∴∠DCA=∠BAC
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=CD=BC=5
過點C作CE⊥AB，交AB于點E，則
OE=CD=5  CE=OD=4
∴點C的坐標(biāo)為（5，4）

（2）由（1）可知 AE=OA+OE=8
由題意可知 AP=2t
∵tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

∴PF=

1

2

AP=t
①當(dāng)點P在點E的左側(cè)時，PM交CE于點N
∵FM⊥PF    PF∥CE
∴FM⊥CE
∴NE=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN

CE

∴

y

11

=

4-t

4

即y=11-

11

4

t（0＜t＜4）

②當(dāng)點P在點E右側(cè)時，直線CE與MF交與點N′，則N′E=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN′

CE

∴

y

11

=

t-4

4

即y=

11

4

t-11（4＜t＜

11

2

）

（3）∵∠PFM=90°
∴FK=KM=KP
過點F作FG⊥PM于點G，則tan∠FKG=

3

4

，即FG：GK=3：4
在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5
∵在Rt△PFM中FG⊥PM
∴△FPG∽△MFG∽△MPF
①當(dāng)0＜t＜

44

15

時，PF=t，F(xiàn)M=11-

11

4

t，如圖
∵FK=KM=KP
∴PG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

∴

t

11- 11 4 t

=

1

3

∴t=

44

23

②當(dāng)

44

15

＜t＜4時，PF=t，F(xiàn)M=11-

11

4

t，如圖
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11- 11 4 t

=3
∴t=

132

37

③當(dāng)4＜t＜

11

2

時，PF=t，F(xiàn)M=

11

4

t-11，如圖
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11 4 t-11

=3
∴t=

132

29

綜上可知，當(dāng)t1=

44

23

，t₂=

132

37

，t3=

132

29

時直線PM與KF所夾銳角正切值為

3

4

．

點評：考查了有關(guān)動點類的綜合性習(xí)題，考慮問題要全面，如本題中的（2）小題有兩種情況，（3）小題有三種情況．本題主要運用相似三角形的相似比得到的比例關(guān)系來找到線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系求解如第（2）小題主要是利用了相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比來列出數(shù)量關(guān)系．第（3）小題主要是利用了相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比來列出數(shù)量關(guān)系．由于點P是動點所以衍生出了多種情況，所以做此類問題一般可以用一種方法解決動點問題衍生出的各種情況．