Question

已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）當(dāng)α=60°時（如圖1），
①判斷△ABC的形狀，并說明理由；
②求證：BD=AE；
（2）當(dāng)α=90°時（如圖2），求的值．

Answer 1

【答案】分析：①由三角形ABC中有兩個60°而求得它為等邊三角形；②由△EBD也是等邊三角形，連接DC，證得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易證得結(jié)論．（2）連接DC，證得△ABC∽△EBD，設(shè)BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．
解答：解：（1）①判斷：△ABC是等邊三角形．
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等邊三角形
②證明：同理△EBD也是等邊三角形
連接DC，
則AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中，
∴．

（2）連接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
設(shè)BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=
∴，即．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①中知道三角形中有兩個60°角即證，②利用①的結(jié)論并證得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易證得，（2）連接DC，證得△ABC∽△EBD，設(shè)BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．