Question

菱形ABCD中，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)．
（1）若∠B=60°，S_菱形ABCD=，求AB的長(zhǎng)；
（2）H為AB上一點(diǎn)，連CH，使∠CHB=2∠ECB，求證：CH=AH+AB．

Answer 1

解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EC⊥AB，
∴CE=BC•sin60°=BC，
即CE=AB，
∵S_菱形ABCD=AB•CE=，
∴AB=4；

（2）證明：延長(zhǎng)BA與CF，交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G=∠FCD，
∵點(diǎn)F分別為AD的中點(diǎn)，且AG∥CD，
∴AG=AB，
∵在△BCE和△DCF中，
，
∵△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CHB=2∠ECB，
∴∠CHB=2∠G，
∵∠CHB=∠G+∠HCG，
∴∠G=∠HCG，
∴GH=CH，
∴CH=AH+AG=AH+AB．
分析：（1）連接AC，可證得△ABC是等邊三角形，又由E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一，可得CE⊥AB，又由CE=AB，S_菱形ABCD=，即可求得AB的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)BA與CF，交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得AG=AB，易證得△BCE≌△DCF，可得△CGH是等腰三角形，繼而可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．