若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
（1）若點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為_(kāi)_____，
（2）如圖，在銳角三角形ABC外側(cè)作等邊三角形ACB′，連接BB′，求證：BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′= PA+PB+PC。

解：（1）；
（2）在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，
連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE，如圖所示，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE是正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B'EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
∴BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們所學(xué)的幾何知識(shí)可以理解為對(duì)“構(gòu)圖”的研究：根據(jù)給定的（或構(gòu)造的）幾何圖形提出相關(guān)的概念和問(wèn)題（或者根據(jù)問(wèn)題構(gòu)造圖形），并加以研究．
例如：在平面上根據(jù)兩條直線的各種構(gòu)圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質(zhì)”等問(wèn)題（包括研究的思想和方法）．
請(qǐng)你用上面的思想和方法對(duì)下面關(guān)于圓的問(wèn)題進(jìn)行研究：
（1）如圖1，在圓O所在平面上，放置一條直線m（m和圓O分別交于點(diǎn)A、B），根據(jù)這個(gè)圖形可以提出的概念或問(wèn)題有哪些？（直接寫(xiě)出兩個(gè)即可）
（2）如圖2，在圓O所在平面上，請(qǐng)你放置與圓O都相交且不同時(shí)經(jīng)過(guò)圓心的兩條直線m和n（m與圓O分別交于點(diǎn)A、B，n與圓O分別交于點(diǎn)C、D）．請(qǐng)你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個(gè)結(jié)論，并證明之；
（3）如圖3，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是
ABC
的中點(diǎn)，弦DE精英家教網(wǎng)⊥AB于點(diǎn)F．請(qǐng)找出點(diǎn)C和點(diǎn)E重合的條件，并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點(diǎn)，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)D（C始終在△DEF內(nèi)部），設(shè)紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N．
（1）當(dāng)∠A=∠NDB=45°時(shí)，四邊形MDNC的面積為
 
；
（2）當(dāng)∠A=45°，∠NDB≠45°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否與（1）相同？說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)∠A=∠NDB=30°時(shí)，四邊形MDNC的面積為
 
；
（4）當(dāng)∠A=30°，∠NDB≠30°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化（即與（3）相同），說(shuō)明理由，若發(fā)生變化，設(shè)四邊形MDNC的面積為S，BN為x，求S與x之間的關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點(diǎn)，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)D（C始終在△DEF內(nèi)部），設(shè)紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N.

1.當(dāng)∠A=∠NDB=45°時(shí)，四邊形MDNC的面積為        ；

2.當(dāng)∠A=45°，∠NDB≠45°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否與（1）相同？說(shuō)明理由；

3.當(dāng)∠A=∠NDB=30°時(shí)，四邊形MDNC的面積為        ；

4.當(dāng)∠A=30°，∠NDB≠30°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化（即與（3）相同），說(shuō)明理由，若發(fā)生變化，設(shè)四邊形MDNC的面積為S，BN為，求S與之間的關(guān)系.

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點(diǎn)，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)D（C始終在△DEF內(nèi)部），設(shè)紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N.
【小題1】當(dāng)∠A=∠NDB=45°時(shí)，四邊形MDNC的面積為       ；
【小題2】當(dāng)∠A=45°，∠NDB≠45°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否與（1）相同？說(shuō)明理由；
【小題3】當(dāng)∠A=∠NDB=30°時(shí)，四邊形MDNC的面積為       ；
【小題4】當(dāng)∠A=30°，∠NDB≠30°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化（即與（3）相同），說(shuō)明理由，若發(fā)生變化，設(shè)四邊形MDNC的面積為S，BN為，求S與之間的關(guān)系.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆江西省中等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（三） 題型：解答題

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點(diǎn)，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)D（C始終在△DEF內(nèi)部），設(shè)紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N.
【小題1】當(dāng)∠A=∠NDB=45°時(shí)，四邊形MDNC的面積為       ；
【小題2】當(dāng)∠A=45°，∠NDB≠45°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否與（1）相同？說(shuō)明理由；
【小題3】當(dāng)∠A=∠NDB=30°時(shí)，四邊形MDNC的面積為       ；
【小題4】當(dāng)∠A=30°，∠NDB≠30°時(shí)，四邊形MDNC的面積是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化（即與（3）相同），說(shuō)明理由，若發(fā)生變化，設(shè)四邊形MDNC的面積為S，BN為，求S與之間的關(guān)系.

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