【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過(guò)E作EF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)AE=3.
【解析】分析: (1)要證EF是⊙O的切線,只要連接OE,再證∠FEO=90°即可;
(2)證明△FEA∽△FBA,得出AE,BF的比例關(guān)系式,勾股定理得出AE,BF的關(guān)系式,求出AE的長(zhǎng).
詳解:
(1)證明:連接OE,
∵∠B的平分線BE交AC于D,
∴∠CBE=∠ABE.
∵EF∥AC,
∴∠CAE=∠FEA.
∵∠OBE=∠OEB,∠CBE=∠CAE,
∴∠FEA=∠OEB.
∵∠AEB=90°,
∴∠FEO=90°.
∴EF是⊙O切線.
(2)解:∵AFFB=EFEF,
∴AF×(AF+15)=10×10.
∴AF=5.
∴FB=20.
∵∠F=∠F,∠FEA=∠FBE,
∴△FEA∽△FBE.
∴EF=10
∵AE2+BE2=15×15.
∴AE=3.
點(diǎn)睛: 本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:AC2=ADAB;
(3)若AD=,sinB=,求線段BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在甲、乙兩個(gè)不透明的口袋中裝有質(zhì)地、大小相同的小球,甲袋中有2個(gè)白球,1個(gè)黃球和1個(gè)紅球:乙袋中裝有1個(gè)白球,1個(gè)黃球和若干個(gè)紅球,從乙盒中仼意摸取一球?yàn)榧t球的概率是從甲盒中仼意摸取一球?yàn)榧t球的概率的2倍.
(1)乙袋中紅球的個(gè)數(shù)為 .
(2)若摸到白球記1分,摸到黃球記2分,摸到紅球記0分,小明從甲、乙兩袋中先后分別任意摸取一球,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求小明摸得兩個(gè)球得2分的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:
①2a+b=0;
②abc>0;
③b2﹣4ac>0;
④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0);
⑤當(dāng)1<x<4時(shí),有y2<y1;
⑥方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
其中正確的有_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖 1,正方形 OABC 的邊 OA 在數(shù)軸上,O 為原點(diǎn),正方形 OABC 的面積為 16.
(1)數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)為 .
(2)將正方形 OABC 沿?cái)?shù)軸水平移動(dòng),移動(dòng)后的正方形記為O' A' B' C' ,移動(dòng)后的正方形O' A' B' C ' 與原正方形 OABC 重疊部分的面積記為 S,如圖 2 中,長(zhǎng)方形O ' ABC ' 的面積為 S.當(dāng) S 恰好等于原正方形 OABC 面積的時(shí),數(shù)軸上點(diǎn)A' 示的數(shù)為 .
(3)設(shè)點(diǎn) A 的移動(dòng)距離AA' = x,D 為線段AA' 的中點(diǎn),點(diǎn) E 在線段OO ' 上,且OE = OO ' ,當(dāng)OD + OE = 5 時(shí),求x的值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn) A' 所對(duì)應(yīng)的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( 。
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的時(shí)間都在降雨
B. “拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋2次就有一次正面朝上
C. “彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示買(mǎi)100張彩票肯定會(huì)中獎(jiǎng)
D. “拋一枚正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這一事件發(fā)生的概率穩(wěn)定在附近
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某路公交車(chē)從起點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)A、B、C三站到達(dá)終點(diǎn),途中上下乘客如下表所示.(正數(shù)表示上車(chē)的人數(shù),負(fù)數(shù)表示下車(chē)的人數(shù))
上(下)車(chē) | 起點(diǎn) | A | B | C | 終點(diǎn) |
上車(chē)的人數(shù) | 10 | 9 | 6 | 5 | 0 |
下車(chē)的人數(shù) | 0 | ﹣2 | ﹣5 | ﹣6 | ? |
(1)表格中“?”應(yīng)填 .
(2)車(chē)行駛在哪兩站之間時(shí),車(chē)上的乘客最多? 站和 站;
(3)若每人乘坐一站需要買(mǎi)票1元,則該車(chē)出車(chē)一次能收入多少錢(qián)?要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當(dāng)α+β=180°時(shí),我們稱(chēng)△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.
特例感知:
(1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.
①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時(shí),則AD長(zhǎng)為 .
猜想論證:
(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一些相同的房間需要粉刷墻面.一天3名一級(jí)技工去粉刷8個(gè)房間,結(jié)果其中有40m2墻面未來(lái)得及粉刷;同樣時(shí)間內(nèi)5名二級(jí)技工剛好粉刷了10個(gè)房間,每名一級(jí)技工比二級(jí)技工一天多粉刷20m2墻面.
(1)一級(jí)技工和二級(jí)技工每人每天各粉刷多少墻面?
(2)現(xiàn)有若干間這樣的房間需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)粉刷完墻面,若安排一名一級(jí)技工單獨(dú)粉刷,可比規(guī)定時(shí)間提前1天完成;若安排一名二級(jí)技工單獨(dú)完成,到規(guī)定時(shí)間還有4間房間沒(méi)粉刷.需要粉刷的房間一共有多少間?
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