Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8cm，CD=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AD？

（2）設(shè)四邊形APQD的面積為y（cm2），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APQO：S四邊形BCQP=17：27？若存在，求出t的值，并求此時(shí)PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為s時(shí)，PQ∥AD；（2）y與t的函數(shù)關(guān)系式是y=；（3）t的值為2s或s，此時(shí)PQ的長(zhǎng)為cm，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)解答即可；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)四邊形面積公式進(jìn)行解答即可．

解：（1）∵PQ∥AD，AD∥BC

∴，

即

解得，

答：當(dāng)t為s時(shí)，PQ∥AD．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F

∴∠DEC=∠QFD=90°

∵AD∥BC，∠A=90°

∴∠ABC=180°-∠A=90°

∴四邊形ABND是矩形

∴AB=DE，BE=AD

在Rt△DEC中，，

∵∠C=∠QDF

∴在Rt△DFQ和Rt△DEC中，

sin∠QDF=，即

∴

cos∠QDF=，即

∴

∵在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD

∴∠ABD=∠ADB=45°

∴y=S四邊形APQD=S四邊形APQF-S△DQF

=

=

=

答：y與t的函數(shù)關(guān)系式是y=．

（3）若S四邊形APQD：S四邊形BCQP=17：27，則y=S四邊形ABCD

∵S四邊形ABCD=

∴=34

解得t1=2，

∴t的值為2s或s．

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H，

∴PH=

QH=AF=

∴PQ=

當(dāng)t=2時(shí)，PQ=

當(dāng)t=時(shí)，PQ=

∴此時(shí)PQ的長(zhǎng)為cm．