Question

【題目】如圖，AB，DE為⊙O的直徑，過點D作弦DC⊥AB于點H，連接AE并延長交DC的延長線于點F．

（1）求證：

（2）若sinD＝，求tanF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，先證∠DOH＝∠COH，再證∠COH＝∠AOE，由圓心角、弧、弦的關系可推出結論；

（2）連接EC，用特殊值法，設OH＝3，OD＝5，求出CD的長，利用勾股定理求出CE的長，再證△EFC∽△AFH，可求出FC的長，即可求出tanF．

(1)連接OC

∵OC=OD，AB⊥CD

∴∠DOH=∠COH，

∵∠DOH=∠AOE，

∴∠COH=∠AOE，

∴；

(2)連接EC，

∵AB⊥CD，

∴∠AHD=90°，

∵sin D=，

不妨設OH=3，OD=5，

∴DH=，

∵AB⊥CD，

∴CD=2DH=8，

∵DE為⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∴CE=，

設FC=，則FH=，

∵∠AHD=∠ECD=90°，

∴EC∥AH

∴△EFC∽△AFH，

∴，

即，

解得：，

∴．