Question

（2011•桃江縣模擬）如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點(diǎn)，AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，AD平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若∠DBC=30°，DE=1，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由DA為角平分線(xiàn)得到一對(duì)角相等，等量代換可得出一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行，得到OA與ED平行，根據(jù)兩直線(xiàn)平行得到同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，再由AE垂直于ED，得到∠AED為直角，可得出∠OAE為直角，即AE垂直于OA，即可得到AE為圓O的切線(xiàn)，得證；
（2）由BD為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠BAD及∠C都為直角，在直角三角形BDC中，由∠DBC的度數(shù)，求出∠BDC的度數(shù)，再由鄰補(bǔ)角定義及DA為角平分線(xiàn)，求出∠ADE的度數(shù)，在直角三角形AED中，求出∠EAD為30°，由ED的長(zhǎng)，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AD=2ED，求出AD的長(zhǎng)，再由∠BDA的度數(shù)，求出∠BAD的度數(shù)為30°，由AD的長(zhǎng)，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2AD，即可求出BD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OA，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠OAE+∠AED=180°，
∵DE⊥AE，∴∠E=90°，
∴∠OAE=90°，即AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°
∴∠ADB=∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°，又∠AED=90°，
∴AD=2DE=2，
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，其中判定切線(xiàn)的方法有兩種：有點(diǎn)連接圓心與此點(diǎn)，證明直線(xiàn)與連線(xiàn)垂直；無(wú)點(diǎn)過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，證明垂線(xiàn)段等于圓的半徑．