Question

如圖，已知拋物線C₁：y = a(x+2)² -5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求P點坐標及a的值；

（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；

（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

（1）P(-2,-5) 

把點B（1，0）代入y = a(x+2)² -5  得a=

（2）∵點P 、M關于點B成中心對稱，且點P(-2,-5)、點B（1，0）

     ∴M（4，5）   

       C₃：y=-(x-4)²+5

（3）過點P作PG⊥x軸，過點N作NM⊥x軸。

設點Q（x,0），因為P(-2,-5)、N關于點Q對稱

∴PN=2PQ=2

  NF=,PF=   

①     當=90°時，PN+FN=PF

  ∴4+34=25+(2x+7)

            得   x=          

②當°時，F(xiàn)N+PF=PN

 ∴34+25+(2x+7)=4

         得    x=              

③當時，不存在