Question

武漢歡樂谷要建一個圓形噴水池，如圖所示，計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圓噴水頭，時噴出的水柱在離池中心4m處達到最高，高度為6m，另外還要再噴水池的中心設計一個裝飾水壇，使各方向噴來的水柱在此匯合，已知裝飾水壇的高度為
m．
（1）建立平面直角坐標系，使拋物線水柱最高坐標為（4，6），裝飾水壇最高坐標為（0，），求圓形噴水池的半徑．
（2）為防止游客戲水出現危險，公園再噴水池內設置了一個六方形隔離網．如圖，若該六邊形被圓形噴水池的直徑AB平分為兩個相同的等腰梯形，那么，當該等腰梯形的腰AD長為多少時，該梯形周長最大？

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，
由題意可知：h=4，k=6，
∴y=a（x-4）²+6，
∵裝飾水壇最高坐標為（0，），
∴當x=0時，y=，
代入得：=16a+6，
解得：a=-，
∴y=-（x-4）²+6，
令y=0，則-（x-4）²+6=0，
解得：x=10或-2（舍），
∴圓形噴水池的半徑為10米；

（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當六邊形的六個頂點都在圓上時，則梯形周長最大，
∵AD=OD=AO=10米，
∴梯形ADCB的周長為10+10+10+20=50米，
∴該等腰梯形的腰AD長為10米時，該梯形周長最大為50米．
分析：（1）根據已知得出二次函數的頂點坐標，即可利用頂點式得出二次函數解析式，令y=0，則-（x-4）²+6=0，求出x的值即可得出答案．
（2）連接OD，則三角形AOD是等邊三角形，由題意可知當六邊形的六個頂點都在圓上時，則梯形周長最大，計算即可．
點評：此題主要考查了二次函數的實際應用，根據實際問題運用二次函數最大值求二次函數解析式，此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．