Question

已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)P（2，1），與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）能否在反比例函數(shù)y=

k

x

 的圖象上找到一點(diǎn)H，使△HOE的面積與△EOF的面積
相等？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k的值，再把k的值與點(diǎn)P的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式計(jì)算求出b的值，即可得解；
（2）利用直線解析式求出E、F的坐標(biāo)，從而得到OE、OF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)H到x軸的距離，再分點(diǎn)H縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)與正數(shù)兩種情況解答．

解答：解：（1）把P（2，1）代入y=

k

x

得：k=2，
故反比例函數(shù)的解析式是y=

2

x

，
把點(diǎn)P（2，1），k=2代入一次函數(shù)y=kx+b得，2×2+b=1，
解得b=-3．
所以，一次函數(shù)的解析式為y=2x-3；

（2）令y=0，則2x-3=0，解得x=

3

2

，
令x=0，則y=-3，
所以，點(diǎn)E（

3

2

，0），F(xiàn)（0，-3），
∴OE=

3

2

，OF=3，
設(shè)點(diǎn)H到x軸的距離為h，
則S_△HOE=

1

2

×

3

2

h=

3

4

h，S_△EOF=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
所以，

3

4

h=

9

4

，
解得h=3，
即點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是3，
當(dāng)H的縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)時(shí)，

2

x

=-3，解得x=-

2

3

，
當(dāng)點(diǎn)H的縱坐標(biāo)是正數(shù)時(shí)，

2

x

=3，解得x=

2

3

，
所以，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

2

3

，-3）或（

2

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，主要利用了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的比例系數(shù)都是k是解題的關(guān)鍵，（2）要注意分點(diǎn)H的縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)與正數(shù)兩種情況討論．