Question

在直角坐標(biāo)系xOy 中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（-4，0）、B（0，-3），與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C，若△AOB∽△BOC（相似比不為1）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的外接圓半徑r；
（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點(diǎn)，且以點(diǎn)O、A、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式，首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后由△AOB∽△BOC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OC的長度，得出C點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠OAB=∠OBC，從而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），B（0，-3），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）由已知條件證明△ABC是直角三角形，利用直角三角形的外接圓的直徑等于其斜邊即r=，求解即可；
（3）如果以點(diǎn)O、A、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論：①當(dāng)AN=ON時(shí)，②當(dāng)AN=OA時(shí)，當(dāng)ON=OA時(shí)，針對(duì)每一種情況，都應(yīng)首先判斷M點(diǎn)是否在線段AC上．
解答：解：（1）∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴=，
又∵OA=4，OB=3，
∴OC==，
∴點(diǎn)C（，0），
設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)解析式是y=ax²+bx+c，則：
，
解得，a=，b=，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式是y=x²+x-3；

（2）∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴∠BAO=∠CBO．
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°
∴AC是△ABC外接圓的直徑．
∴r=AC=×（OA+OC）=；

（3）∵點(diǎn)N在以BM為直徑的圓上，
∴∠MNB=90°，
①當(dāng)AN=ON時(shí)，點(diǎn)N在OA的中垂線上，
∴點(diǎn)N₁是AB的中點(diǎn)，M₁是AC的中點(diǎn)．
∴AM₁=r=，點(diǎn)M₁（-，0），即m₁=-；
②當(dāng)AN=OA時(shí)，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，點(diǎn)M₂（1，0），即m₂=1．
③當(dāng)ON=OA時(shí)，點(diǎn)N顯然不能在線段AB上．
綜上，符合題意的點(diǎn)M（m，0）存在，有兩解：
m=-，或1．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．