Question

（2012•涼山州）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題．
如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
你可以在l上找?guī)讉�(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法．他把管道l看成一條直線（圖（2）），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最�。�他的做法是這樣的：
①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′．
②連接AB′交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．
請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題．如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使△PDE得周長(zhǎng)最�。�
（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDE周長(zhǎng)的最小值：

8

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；
（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．

解答：解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，
P點(diǎn)即為所求；

（2）∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC中位線，
∵BC=6，BC邊上的高為4，
∴DE=3，DD′=4，
∴D′E=

DE2+DD′2

=

32+42

=5，
∴△PDE周長(zhǎng)的最小值為：DE+D′E=3+5=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑以及三角形中位線的知識(shí)，根據(jù)已知得出要求△PDE周長(zhǎng)的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵．