Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A （-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△EBC是等腰三角形時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，最大值為多少，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法得出關(guān)于b，c的解析式，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；
（2）分別根據(jù)當(dāng)BE=BC時(shí)，當(dāng)CE=CB時(shí)以及當(dāng)EB=EC時(shí)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），則Q（m，-

1

2

m-2） （-4≤m≤0），PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，求出最值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A （-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，
∴

1 2 ×(-4)2-4b+c=0 1 2 ×12+b+c=0

，
解得：

b= 3 2 c=-2

，
∴此拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

3

2

x-2；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

3

2

x-2，
∴x=0時(shí)，y=-2，
∴CO=2，
∵B（1，0），
∴BO=1，
∴BC=

5

，
當(dāng)BE=BC時(shí)，
∴BE=

5

，
∴EO=-（

5

-1）=1-

5

，
E（1-

5

，0），
當(dāng)CE=CB時(shí)，EO=BO，
∴E（-1，0），
當(dāng)EB=EC時(shí)，設(shè)OE=x，則EC=BE=x+1，
在RT△EOC中，x²+2²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
E（-

3

2

，0）；

（3）∵A（-4，0），C（0，-2），
∴設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+a，
∴

-4k+a=0 a=-2

，
解得：

a=-2 k=- 1 2

，
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-

1

2

x-2，
設(shè)P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），則Q（m，-

1

2

m-2）  （-4≤m≤0），
PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，
=-

1

2

m2-2m，
=-

1

2

(m+2)2+2，
∵-4≤m≤0，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，PQ的值有最大值為2，此時(shí)P（-2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式和等腰三角形的判定等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．