Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，0），B（0，-4），點(diǎn)P（-6，0）在x軸上，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)（不與A，C重合），且△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，連接PQ，設(shè)直線PQ與x軸所夾的銳角為α．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，點(diǎn)P（a，y₁），Q（a-1，y₂）在拋物線上，比較y₁，y₂大��；
（3）當(dāng)α最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-4，0），B（0，-4）代入拋物線的解析式y=

1

2

x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先將P，Q的坐標(biāo)代入（1）的拋物線解析式中，可得出y₁、y₂的表達(dá)式，計(jì)算y₁-y₂，然后看得出的結(jié)果中在x的不同取值范圍下，y₁、y₂的大小關(guān)系；
（3）先由△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，得出點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓D上；再解方程

1

2

x²+x-4=0，得到C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），則⊙D的半徑為3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）；再連接DQ，當(dāng)α最大時(shí)，得到PQ為⊙D的切線，由切線的性質(zhì)得到∠PQD=90°，根據(jù)勾股定理求出PQ=4；過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出QE=

12

5

，PE=

16

5

，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，注意點(diǎn)Q可以在第二象限，也可以在第三象限．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，0），B（0，-4），
∴

1 2 ×16-4b+c=0 c=-4

，
解得

b=1 c=-4

，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x²+x-4；

（2）∵點(diǎn)P（a，y₁），Q（a-1，y₂）都在該拋物線上，
∴y₁-y₂=（

1

2

a²+a-4）-[

1

2

（a-1）²+（a-1）-4]=a+

1

2

．
當(dāng)a+

1

2

＞0，即-

1

2

＜a＜0時(shí)，y₁＞y₂，
當(dāng)a+

1

2

=0，即a=-

1

2

時(shí)，y₁=y₂，
當(dāng)a+

1

2

＜0，即a＜-

1

2

時(shí)，y₁＜y₂；

（3）如圖．
∵△ACQ是以AC為斜邊的直角三角形，
∴點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓上．
設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則⊙D的直徑為AC．
∵拋物線y=

1

2

x²+x-4與x軸交于點(diǎn)A、C，且A（-4，0），
解方程

1

2

x²+x-4=0，得x=-4或2，
∴C（2，0），
∴AC=6，⊙D的半徑為3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．
連接DQ，當(dāng)α最大時(shí)，PQ為⊙D的切線，∠PQD=90°，DQ=3．
在△PQD中，∵∠PQD=90°，DQ=3，PD=-1-（-6）=5，
∴PQ=

PD2-DQ2

=4．
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵sin∠QPE=

QE

PQ

=

DQ

PD

，cos∠QPE=

PE

PQ

=

PQ

PD

，
∴QE=

PQ•DQ

PD

=

4×3

5

=

12

5

，PE=

PQ2

PD

=

16

5

，
∴OE=OP-PE=6-

16

5

=

14

5

．
當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，Q（-

14

5

，

12

5

）；
當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí)，Q（-

14

5

，-

12

5

）．
綜上可知，當(dāng)α最大時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

14

5

，

12

5

）或（-

14

5

，-

12

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用差比法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是一種常用的方法；（3）中根據(jù)圓周角定理得出點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓D上及根據(jù)切線的性質(zhì)得出當(dāng)α最大時(shí)，PQ為⊙D的切線是解題的關(guān)鍵．