Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°．O為BC邊上一點，以O(shè)為圓心、OB為半徑作半圓，與AB邊交于點D．過點D作半圓O的切線與AC邊相交于點E．求證：△DAE是等腰三角形．

Answer 1

證明：∵DE為圓O的切線，
∴OD⊥DE，即∠EDO=90°，
∴∠ADE+∠ODB=90°，
又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，
∴∠ADE=∠A，
∴AE=ED，即△DAE是等腰三角形．
分析：由DE為圓O的切線，根據(jù)圓的切線垂直于過切點的半徑，即∠DEO=90°，得到∠ADE與∠ODB互余，又∠C=90°，得到，∠A與∠B互余，由半徑OD與OB相等，根據(jù)等邊對等角得到∠ODB與∠B相等，進而根據(jù)等角的余角相等得到∠ADE與∠A相等，再根據(jù)等角對等邊，得到AE與ED相等，得證．
點評：此題考查學生掌握切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判斷，會利用等角的余角相等的性質(zhì)進行證明，是一道中檔題．學生做題時注意構(gòu)造等角的余角相等這個模型．