Question

（2012•黃岡模擬）某公司生產一種健身自行車在市場上受到普遍歡迎，在國內市場和國外市場暢銷，生產的產品可以全部出售，該公司的年生產能力為10萬輛，在國內市場每輛的利潤y₁（元）與其銷量x（萬輛）的關系如圖所示；在國外市場每輛的利潤y₂（元）與其銷量x（萬輛）的關系為：y₂=

-30x+320(0≤x≤6) 180(6≤x≤10)

．
（1）求國內市場的銷售總利潤z₁（萬元）與其銷量x（萬輛）之間的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍．
（2）求國外市場的銷售總利潤z₂（萬元）與國內市場的銷量x（萬輛）之間的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍．
（3）求該公司每年的總利潤w（萬元）與國內市場的銷量x（萬輛）之間的函數(shù)關系式？并幫助該公司確定國內、國外市場的銷量各為多少萬輛時，該公司的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）由圖象可知：此函數(shù)為分段函數(shù)，當0≤x≤4時，圖象為平行于x軸的線段；當4≤x≤10時，圖象為一次函數(shù)的一段，設此時解析式為y=kx+b（k≠0），將（4，400）和（10，160）代入求出k與b的值，綜上確定出y₁與其銷量x的關系式，根據(jù)總利潤=每輛的利潤×銷量，即可列出z₁與其銷量x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)國外市場每輛的利潤y₂與其銷量x的關系，利用總利潤=每輛的利潤×銷量，即可列出z₂與其銷量x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)總利潤=國內的利潤+國外的利潤，即w=z₁+z₂，列出w關于x的關系式，利用一次函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質分別求出x不同取值范圍時函數(shù)的最大值，比較大小即可得到公司年利潤最大時國內的銷量與國外市場銷量．

解答：解：（1）由圖知：y₁=

400(0≤x≤4) 560-40x(4≤x≤10)

，
則z₁=xy₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

；
（2）該公司的年生產能力為10萬輛，若在國內市場銷售x萬輛，則在國外市場銷售（10-x）萬輛，
則z₂=xy₂=（10-x）y₂=

(10-x)[-30(10-x)+320](0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30(10-x)2+320(10-x)(0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30x2+280x+200(4≤x≤10) -180x+1800(0≤x≤4)

；
（3）設該公司每年的總利潤為w（萬元），則
w=z₁+z₂=

220x+1800(0≤x≤4) -70x2+840x+200(4≤x≤10)

=

220x+1800(0≤x≤4) -70(x-6)2+2720(4≤x≤10)

，
當0≤x≤4時，w隨x的增大而增大，當x=4時，w取最大值，此時w=2680，
當4≤x≤10時，當x=6時，w取最大值，此時w=2720，
所以綜合得：當x=6時，w的最大值為2720，
此時，國內的銷量為6萬輛，國外市場銷量為4萬輛，年利潤最大為2720萬元．

點評：此題考查了二次函數(shù)的應用，涉及的知識有：一次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)的圖象與性質，分段函數(shù)，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，是一道綜合性較強的應用題．