Question

如圖，弓形ABC中，∠BAC=60°，BC=2

3

，若點(diǎn)P在優(yōu)弧BAC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，記△PBC的內(nèi)心為I，點(diǎn)I隨點(diǎn)P的移動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為m，則m的取值范圍為

0＜m＜

4π

3

．

Answer 1

分析：可設(shè)I為△PBC的內(nèi)心連接BI，利用點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧CIB（不含點(diǎn)C、B），可求出弧CIB的長(zhǎng)為

4π

3

，進(jìn)而求出m的取值范圍．

解答：解：如圖，將圓補(bǔ)全，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC交⊙O于點(diǎn)D，設(shè)I為△PBC的內(nèi)心連接BI、連接PD、
連接BO、連接CO、連接BD、連接CD、連接PB、連接PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2

3

，
∴∠BOD=60°，△BDO是等邊三角形，
∴BO=

3

sin60°

=2，
∴BD=BO=ID=2，
∴動(dòng)點(diǎn)I到定點(diǎn)D的距離為2，即點(diǎn)I的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的弧CIB（不含點(diǎn)C、B），
弧CIB的長(zhǎng)為

4π

3

，
則m的取值范圍是0＜m＜

4π

3

．
故答案為：0＜m＜

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓心角、圓周角定理以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)，本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，得出I的運(yùn)動(dòng)路徑即可解決問(wèn)題．