Question

已知，如圖，直線y=

3

2

x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y=

k

x

在第一象限內交于點C，且S_△AOC=6．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）點D（4，a）為此雙曲線在第一象限上的一點，點P為x軸上一動點，試確定點P的坐標，使得PC+PD的值最�。�

Answer 1

分析：（1）首先根據直線求得點A的坐標，再根據S_△AOC=6求得點C的縱坐標，再根據直線求得點C的橫坐標，從而把點C的坐標代入雙曲線解析式，求得反比例函數的解析式；
（2）根據（1）中求得的解析式求出a，確定點D的位置，再利用軸對稱的知識確定動點P即為連接點D和點C的對稱點的直線與x軸的交點．

解答：解：（1）在直線中，令y=0，則x=-2，即點A（-2，0）．
∵S_△AOC=6，點C在第一象限，
∴點C的縱坐標是6．
∵直線與雙曲線y=

k

x

在第一象限內交于點C，
∴把y=6代入直線y=

3

2

x+3中，得
x=2，
即點C（2，6）．
把點C（2，6）代入y=

k

x

中，得
k=12，
則反比例函數的解析式是y=

12

x

．

（2）∵點D（4，a）為此雙曲線在第一象限上的一點，
∴a=3．
要使PC+PD的值最小，
則作點C關于x軸的對稱點E（2，-6），連接DE交x軸于點P，點P即為所求作的點．
設直線DE的解析式是y=kx+b，根據題意，得

2k+b=-6 4k+b=3

，
解，得

k=4.5 b=-15

，
則直線的解析式是y=4.5x-15，
令y=0，則x=

10

3

，
即點P（

10

3

，0）．

點評：此題綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、求函數圖象與坐標軸交點的方法以及利用軸對稱的知識求在某直線上確定一點到兩個定點距離之和最小的方法．