Question

將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8分別填寫到八邊形ABCDEFGH的8個(gè)頂點(diǎn)上，并且以S₁，S₂，…，S₈分別表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8組相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和．
（1）試給出一個(gè)填法，使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于12；
（2）請(qǐng)證明任何填法均不可能使得S₁，S₂，…，S₈都大于或等于13．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先確定1的位置，1最小，讓它的一個(gè)相鄰的數(shù)是最大的數(shù)8，再根據(jù)三個(gè)相鄰的數(shù)的和應(yīng)大于或等于12且各個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)都不相等，進(jìn)行推斷；
（2）首先根據(jù)八組的數(shù)的和是104，正確分析出其中至多有四組的數(shù)的和大于13，且每一組的數(shù)的和都小于或等于14；然后再進(jìn)一步用設(shè)未知數(shù)的方法分析．
解答：解：（1）不難驗(yàn)證，如圖所示填法滿足．s₁，s₂，…s₈都大于或等于12．

（2）顯然，每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在全部8組3個(gè)相鄰頂點(diǎn)組的3個(gè)組中，所以有s₁+S₂+…+S₈=（1+2+3+…+8）•3=108．如果每組三數(shù)之和都大于或等于13，因13•8=104，所以至多有108-104=4個(gè)組的三數(shù)之和大于13．
由此我們可得如下結(jié)論：
1、相鄰兩組三數(shù)之和一定不相等．設(shè)前一組為（i，j，k），后一組為（j，k，l）．若有i+j+k=j+k+l，則l=i，這不符合填寫要求；
2、每組三數(shù)之和都小于或等于14．因若有一組三數(shù)之和大于或等于15，則至多還有另外兩個(gè)組，其三數(shù)之和大于13，余下5個(gè)組三數(shù)之和等于13，必有相鄰的兩組相等，這和上述結(jié)論（1）不符．
因此，相鄰兩組三數(shù)之和必然為13或14．不妨假定1填在B點(diǎn)上，A點(diǎn)所填為i，C點(diǎn)所填為j．
1、若S₁=i+1+J=13，則s₂=1+j+l=14，S₃=j+l+k=13，因J＞1，這是不可能的．
2、若s_l=i+1+j=14，則S₂=1+j+（i-1）=13，S₃=j+（i-1）+2：14，s₄=（i-1）+2+（j-1）=13，這時(shí)S₅=14，只能是S=2+（j-1）+i，i重復(fù)出現(xiàn)：所以不可能有使得每組三數(shù)之和均大于或等于13的填法．
點(diǎn)評(píng)：做此題的時(shí)候，注意各個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字不得重復(fù)，且每一組的數(shù)的和應(yīng)大于或等于12進(jìn)行解答．