Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD＞AB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE．

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

(2)若AE＝10 cm，△ABF的面積為24 cm²，求△ABF的周長；

(3)在線段AC上是否存在一點P，使得2AE²＝AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本題滿分12分 　　解：(1)證明：由題意可知OA＝OC，EF⊥AO 　　∵AD∥BC 　　∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO 　　∴△AOE≌△COF 　　∴AE＝CF，又AE∥CF 　　∴四邊形AECF是平行四邊形　2分 　　∵AC⊥EF 　　∴四邊形AECF是菱形　4分 　　(2)∵四邊形AECF是菱形 　　∴AF＝AE＝10 cm 　　設AB＝a，BF＝b， 　　∵△ABF的面積為24 cm2 　　a＋b＝100，ab＝48　6分 　　(a＋b)＝196a＋b＝14或a＋b＝－14(不合題意，舍去)　7分 　　△ABF的周長為a＋b＋10＝24 cm　8分 　　(3)存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點　9分 　　證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP 　　∴△AOE∽△AEP 　　∴ 　　∴AE＝AO·AP　11分 　　∵四邊形AECF是菱形， 　　∴AO＝AC 　　∴AE＝AC·AP 　　∴2AE＝AC·AP　12分